Базы данных

Реляционная модель и функциональные зависимости

Реляционная модель

Содержание

Реляционная модель
Ключи
Функциональные зависимости
Литература

Отношения

Имя
Заголовок отношения
- Описание данных
- Множество пар имя: тип
Тело отношения
- Данные
- Множество множеств пар имя: значение

Пример отношения

{id: int, name: string}
{{id: 10, name: Иванов},
 {id: 20}}

Отношения и математика

Как соотносятся реляционные и математические отношения?
- $\begin{split} R = (&\{&a_1: T_1, a_2: T_2, ..., a_n: T_n\},\\ &\{\\ &&\{a_1: v_1, a_2: v_2, ..., a_n: v_n\},\\ &&\dots\\ &\})\\ \end{split}$
- $\begin{split} R(a_1, a_2, ..., a_n) ⊆ T_1 \times T_2 \times \cdots \times T_n \\ (v_1, v_2, ..., v_n) \in T_1 \times T_2 \times \cdots \times T_n \end{split}$

Отношения и таблицы

Столбцы и атрибуты
- Столбцы – список
- Атрибуты – множество
Строки и кортежи
- Строки – элемент расширенного декартова произведения
- Кортежи – элемент декартова произведения
Таблицы и отношения
- Таблица – список строк
- Отношение – множество кортежей

Ключи

Надключ

Множество атрибутов
- В отношении нет кортежей с одинаковыми значениями атрибутов
- В проекции на надключ нет повторяющихся кортежей
Надключ является идентификатором кортежа
У всех отношений существует надключ?
- Множество всех атрибутов – надключ

Сколько надключей?

16 + 8 − 4 = 20
- 16 для SId
- 8 для {PassS, PassNo}
- 4 для {SId, PassS, PassNo}

Ключ

Минимальный по включению надключ
Ключ является минимальным идентификатором кортежа
У всех отношений существует ключ?
- Можно минимизировать полный надключ
Можно ли использовать минимальность по числу атрибутов?
- Нет, могут существовать ключи разной мощности: {SId} и {PassS, PassNo}

Выбор ключей

Большинство СУБД умеют проверять ограничения на ключи
Требования к ключам
- Уникальность
- Неизменность
Натуральные ключи vs. суррогатные
- Натуральные – соответствуют бизнес-правилам, часто составные
- Суррогатные – простые и эффективные

Функциональные зависимости

Содержание

Реляционная модель
Ключи
Функциональные зависимости
Литература

Определение и примеры

Содержание

Реляционная модель
Ключи
Функциональные зависимости
Литература

Функциональная зависимость (ФЗ)

$X → Y$
- Каждому $X$ соответствует ровно один $Y$
- $X$ и $Y$ – множества атрибутов
Все атрибуты функционально зависят от (над)ключа
Функциональные зависимости нельзя «вычислить»

Примеры ФЗ (1)

Функциональные зависимости?
- CId → Name Lecturer Phone
- Name → CId Lecturer Phone
- Name → Lecturer Phone
- Lecturer → Phone

Примеры ФЗ (2)

Функциональные зависимости
- CId SId → RMark EMark
- EMark → RMark

Тривиальные ФЗ

Правая часть – подмножество левой части
- Выполняются всегда
- Не несут информации
Примеры
- CId → CId
- Lecturer Phone → Phone

ФЗ и ограничения

Функциональные зависимости задают ограничения для БД
- СУБД не поддерживают произвольные ФЗ
- Большинство СУБД поддерживают ключи
- Больше ограничений $\Rightarrow$ меньше производительность
Задачи
- Минимизировать число проверяемых ФЗ
- Преобразовать ФЗ в ограничения ключей

Пример минимизации ФЗ

Исходные ФЗ
- CId → Name, CId → Lecturer, CId → Phone
- Name → CId, Name → Lecturer, Name → Phone
- Lecturer → Phone
- CId Lecturer → Phone
- ...
Минимизированные ФЗ
- CId → Name
- Name → CId
- CId → Lecturer
- Lecturer → Phone

Правила вывода

Содержание

Реляционная модель
Ключи
Функциональные зависимости
Литература

Правила Армстронга

Задают простейшие правила вывода
Правило рефлексивности
- $X ⊆ Y ⇒ Y → X$
Правило дополнения
- $X → Y ⇒ X~Z → Y~Z$
Правило транзитивности
- $X → Y, Y → Z ⇒ X → Z$
Позволяют построить замыкание

Дополнительные правила

Правило самоопределения
- $X → X$
Правила расщепления и объединения
- $X → Y~Z ⇔ X → Y, X → Z$
Правило композиции
- $X → Y, Z → D ⇒ X~Z → Y~D$
Позволяют минимизировать проверяемые ФЗ

Пример вывода ФЗ

Дано
- Отношение
  (LId, Lecturer, Phone, Table, Dean, Faculty)
- LId → Lecturer Phone (1)
- Phone Table → Dean Faculty (2)
Вывод
- LId → Lecturer Phone (1)
- ⇒ (расщепление) LId → Phone
- ⇒ (дополнение) LId Table → Phone Table
- ⇒ (2, транзитивность) LId Table → Dean Faculty
- ⇒ (расщепление) LId Table → Faculty

Замыкания

Содержание

Реляционная модель
Ключи
Функциональные зависимости
Литература

Замыкание множества ФЗ

$S^{+}$
- Множество всех ФЗ, которые следуют из $S$
Пример
- $S = \{CId → Lecturer, Lecturer → Phone\}$
- $\begin{split} S^{+} = \{\\ &CId → Lecturer, \\ &Lecturer → Phone,\\ &CId → Phone,\\ &CId~Lecturer → Phone,\\ &\text{19 тривиальных ФЗ}\\ &\}\end{split}$

Эквивалентные множества ФЗ

$S$ слабее $P$ ($P$ сильнее $S$)
- $S \sqsubset P \Leftrightarrow S^{+} ⊆ P^{+}$
$S$ эквивалентно $P$
- $S \equiv P \Leftrightarrow S \sqsubset P \wedge P \sqsubset S \Leftrightarrow P^{+} = S^{+}$
Задача
- Найти минимальное множество ФЗ, эквивалентное заданному

Мощность замыкания

Оценить мощность замыкания
Мощность тривиальных ФЗ на $n$ атрибутах?
- $\Sigma_{k=1}^{n}C_n^k (2^k - 1) = O(3^n)$
Тривиальная ФЗ + нетривиальная ФЗ $\Rightarrow$ нетривиальная ФЗ
Мощность замыкания в реальных приложениях слишком велика

Замыкания атрибутов

Содержание

Реляционная модель
Ключи
Функциональные зависимости
Литература

Замыкание атрибутов

Замыкание множества атрибутов $X$ над множеством функциональных зависимостей $S$
- $X_S^{+}$ – множество атрибутов, функционально зависящих от $X$
- Максимальный размер?
  - Число атрибутов в отношении
Пример
- $S = \{CId → Lecturer, Lecturer → Phone\}$
- $X = \{CId\}$
- Замыкание?
  - $X_S^{+} = \{CId, Lecturer, Phone\}$

Алгоритм вычисления $X_S^{+}$

Добавление выводимых атрибутов

$X_S^\times = X$
do
    for each $Y → Z$ in $S$
        if $Y ⊆ X_S^\times$ then $X_S^\times = X_S^\times \cup Z$
while (есть изменения)

Теорема. $X_S^{+} = X_S^{\times}$
- $X_S^{+} ⊇ X_S^{\times}$ – по построению
- $X_S^{+} ⊆ X_S^{\times}$ – от противного

Пример вычисления $X_S^{+}$

Дано S
- A → B C
- E → C F
- B → E
- C D → E F
Найти {A, B}⁺
- {A, B}
- {A, B, C}
- {A, B, C, E, F}
- {A, B, C, E, F} = {A, B}⁺

Свойства замыканий атрибутов

Теорема. $X → Y \in S^{+} \Leftrightarrow Y ⊆ X_S^{+}$
- Позволяет проверять эквивалентность множеств ФЗ без вычисления замыканий
$X$ надключ $\Leftrightarrow$$X^{+}$ – множество всех атрибутов
- Позволяет формально выделять надключи и ключи

Неприводимые множества ФЗ

Содержание

Реляционная модель
Ключи
Функциональные зависимости
Литература

Неприводимые множества ФЗ

Множество ФЗ $S$ неприводимо
- Каждая правая часть ФЗ содержит один атрибут
- Каждая левая часть ФЗ минимальна по включению
- $S$ минимально по включению
При проверке минимальности проверяется эквивалентность

Пример построения

Дано
- LId → Lecturer Phone
- Lecturer → Phone
- LId → Dean
- Lecturer Phone Table → Dean
Неприводимое множество ФЗ
- LId → Lecturer
- Lecturer → Phone
- LId → Dean
- Lecturer Table → Dean

∃ неприводимого множества ФЗ

Теорема. Для любого множества ФЗ существует эквивалентное неприводимое множество ФЗ
- По правилу расщепления делаем все правые части единичными
- Для левой части каждого правила пытаемся удалить по одному атрибуту
- Пытаемся удалить по одному правилу

Вычисление НМФЗ

Расщепление правых частей
- Линейно по размеру правых частей
Удаление атрибута $X \cup \{A\} → Y$
- $Y ⊆ X^+_S$
- Может породить несколько ФЗ
Удаление правила $X → Y$
- $Y ⊆ X^+_{S \setminus \{X → Y\}}$

Наблюдение

Неприводимые множества ФЗ обычно много меньше исходного множества ФЗ
Неприводимое множество ФЗ может не являться минимальным
- Ни в каком смысле

Литература

Содержание

Реляционная модель
Ключи
Функциональные зависимости
Литература

Основная литература 2

Дейт К. Введение в системы баз данных (главы 9 и 11)
Уидом Д., Ульман Д. Основы реляционных баз данных (глава 3)

Дополнительная литература

Armstrong W.W. Dependency Structures of Data Base Relationships
Fagin R. Functional Dependencies in a Relational Database and Propositional Logic
Beeri C., Fagin R., Howard J. A complete axiomatization for functional and multivalued dependencies in database relations
Maier D. Minimum covers in the relational database model